Цена игры в теории игр - это ключевая характеристика, определяющая средний выигрыш при оптимальных стратегиях игроков. Рассмотрим методы определения цены игры для матричных игр.
Содержание
Основные понятия
| Термин | Определение |
| Платежная матрица | Таблица выигрышей первого игрока при различных стратегиях |
| Цена игры | Средний выигрыш при оптимальных стратегиях |
| Нижняя цена игры | Максимин (максимум из минимальных выигрышей) |
| Верхняя цена игры | Минимакс (минимум из максимальных проигрышей) |
Определение цены игры
Для матричной игры с седловой точкой:
- Цена игры равна значению седловой точки
- Совпадает с нижней и верхней ценой игры
- Обозначается как v
Методы нахождения цены игры
Для игр 2×2
- Найти максимин (нижнюю цену)
- Найти минимакс (верхнюю цену)
- При совпадении - это цена игры
- При несовпадении - использовать смешанные стратегии
Для игр m×n
- Метод линейного программирования
- Графический метод (для 2×n или m×2)
- Приведение к квадратной матрице
Пример расчета для игры 2×2
| Игрок A \ Игрок B | Стратегии B | |
| B1 | B2 | |
| A1 | 4 | 1 |
| A2 | 2 | 3 |
- Нижняя цена: max(min(4,1), min(2,3)) = max(1,2) = 2
- Верхняя цена: min(max(4,2), max(1,3)) = min(4,3) = 3
- Цена игры: между 2 и 3 (нет седловой точки)
Свойства цены игры
- Для антагонистических игр всегда существует
- В смешанных стратегиях всегда достигается
- Не изменяется при эквивалентных преобразованиях матрицы
- Для симметричных игр равна нулю
Практическое применение
| Область | Пример использования |
| Экономика | Анализ рыночной конкуренции |
| Военное дело | Оптимизация стратегий |
| Биология | Моделирование эволюционных процессов |
Алгоритм нахождения в смешанных стратегиях
- Проверить наличие седловой точки
- Составить систему уравнений для оптимальных стратегий
- Решить систему относительно вероятностей
- Вычислить цену игры по найденным стратегиям
Цена игры является фундаментальным понятием теории игр, позволяющим определить оптимальное поведение в конфликтных ситуациях. Ее вычисление требует анализа платежной матрицы и применения соответствующих математических методов.
