Бесконечная сумма, или бесконечный ряд, представляет собой сумму бесконечного количества слагаемых. В математике такие суммы могут как сходиться к определенному значению, так и расходиться.
Содержание
Основные понятия бесконечных сумм
- Сходящийся ряд - сумма стремится к конечному пределу
- Расходящийся ряд - сумма не имеет конечного предела
- Условная сходимость - ряд сходится только при определенных условиях
- Абсолютная сходимость - ряд сходится при любых условиях
Примеры известных бесконечных сумм
| Ряд | Сумма | Тип сходимости |
| 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... | 2 | Абсолютная |
| 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... | ln(2) | Условная |
| 1 + 1 + 1 + 1 + ... | ∞ (расходится) | Расходящийся |
Методы вычисления бесконечных сумм
- Метод частичных сумм
- Признаки сходимости (Даламбера, Коши)
- Интегральный признак сходимости
- Функциональные методы (производящие функции)
- Аналитическое продолжение
Геометрическая прогрессия как пример
Бесконечная геометрическая прогрессия a + ar + ar² + ar³ + ... при |r| < 1 сходится к:
S = a / (1 - r)
Применение бесконечных сумм
- Анализ в математике и физике
- Теория вероятностей
- Вычислительные алгоритмы
- Математическое моделирование
