Сумма первых n четных чисел - это классическая математическая задача, которая демонстрирует важные закономерности в теории чисел. Рассмотрим подробно решение этой задачи и ее практическое значение.
Содержание
Формулировка задачи
Первые n четных натуральных чисел представляют собой последовательность: 2, 4, 6, ..., 2n. Требуется найти формулу для вычисления суммы этих чисел.
Общая формула
Сумма S первых n четных чисел вычисляется по формуле:
S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Доказательство формулы
- Вынесем общий множитель 2 за скобки: S = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)
- Сумма в скобках - это сумма первых n натуральных чисел
- Известно, что 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
- Подставляем: S = 2 × n(n + 1)/2 = n(n + 1)
Примеры вычислений
| Количество чисел (n) | Последовательность | Сумма |
| 1 | 2 | 2 = 1×2 |
| 3 | 2, 4, 6 | 12 = 3×4 |
| 5 | 2, 4, 6, 8, 10 | 30 = 5×6 |
| 10 | 2, 4, ..., 20 | 110 = 10×11 |
Графическая интерпретация
Сумму можно представить визуально:
- Для n=1: два элемента (■ ■)
- Для n=2: прямоугольник 2×3 (6 элементов)
- Для n=3: прямоугольник 3×4 (12 элементов)
- Для произвольного n: прямоугольник n × (n+1)
Сравнение с суммой нечетных чисел
| Тип чисел | Формула суммы | Пример для n=5 |
| Четные | S = n(n+1) | 5×6 = 30 |
| Нечетные | S = n² | 5² = 25 |
Применение формулы
Формула суммы четных чисел используется в:
- Арифметических прогрессиях
- Теории вероятностей
- Вычислительной математике
- Алгоритмических задачах
- Физических расчетах
Дополнительные свойства
Сумма первых n четных чисел обладает следующими свойствами:
- Всегда является четным числом
- Равна удвоенной сумме первых n натуральных чисел
- Может быть представлена как разность квадратов: (n+1)² - (n+1)
- Связана с треугольными числами: S = 2Tₙ, где Tₙ - n-ое треугольное число
